多元函数极限考研？
多元函数的极限问题通常有两种类型，一种是有界域（有上下界的区域），一种是开域（没有明确边界条件的区域），两种类型的题目都是考试重点。
1. 有界域的问题： 求极限 \lim_{x\to0}{f(x)}， f(x)=\int^{x}_{0}\sqrt{1+t^2} dt 解答：利用分部积分法，将原式进行变形，变成两个部分分别进行求解。
由于被积函数是奇函数，因此积分变量替换成 t=-x 是可行的，于是有： \begin{align*} \lim_{x\to0} & {f(x)}\\ =& \lim_{x\to0} {\frac{1}{2}}\int^{x}_{0}{\sqrt{1+t^2}dt} \\ = &{\frac{1}{2}}(\lim_{x\to0} {x})^2\int^{x}_{0}{\sqrt {1+(-x)}dt} \\ = & (-\sqrt{2}))^3\cdot \underbrace{\lim_{x\to 0} x}_{\neq 0} \end{align*} 故存在！且 \lim_{x\to0} {f(x)}= (-\sqrt{2}))^2 所以本题的答案是 C 。
2. 开域的问题： 求极限 \lim_{z\to 0+} {\frac{g(z)}{h(z)}， g(z)=\int^{z}_{0}{e^{t^2}} h(z)=\int^{z}_{\sqrt{a}}{e^{t^2}} 解答：本题的关键是建立正确的分析思路，注意不能直接用无穷小量代换。如果直接代换的话，由于 z→0+ ，所以分子分母都带有一个无穷小量 \epsilon ，因此得到的结果应该是 0/0 型极限。此时可以使用洛必达法则，但是结果却是无法确定的。本题的正确做法是将 z 看作是 \sqrt{a} 的函数，在 \sqrt{a} 处对分子分母同时求导，注意导数的性质 \lim_{z \to 0+} \frac{g'(z)}{h'(z)} = e^{2a} 在利用等价无穷小替换的时候，一定要保证替换之后分母的阶数要高于或者等于分子，这样才能保证极限存在且唯一。